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2015/06/27からのアクセス回数 7714
ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロードできます。
http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/52/
また、Sageのサーバを公開しているサイト（http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/）にユーザIDを作成することで、ダウンロードしたワークシートをアップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すことができます。
トランジスタ技術別冊トラ技Jr 2015/3.4号に紹介されている「第1回パソコンでAMラジオ放送を聴く」をMacで試してみました。
ソフトウェアラジオ（Software Design Radio）AMラジオ編は、サポートページでより詳しく説明されています。
私の作成した「ブレッドボードで作ったAMラジオ」は、以下の様な物です。
第1回パソコンでAMラジオ放送を聴く」で紹介されているソフトウェアラジオのPC用アプリケーションは、 SDRadio.exe ver.0.99というWindows用のアプリです。
私は、Mac OSXを使っているので、Mac用のソフトウェアラジオ・アプリケーションを探しました。 今回「ブレッドボードで作ったAMラジオ」の再生用に使ったのは、 Dream 1.11 です。
Dreamを起動し、入力をマイクとし、DemodulationをAMにし、15kHzあたりのピークをクリックすると赤い線がそこに移動します。 次にFilter Bandwidthを5kHz程度にするとラジオの放送が聞こえてきます。
私の住む高岡市で最も電波の強い放送局は北日本放送（738kHz）です。 Dreamで受信した北日本放送は、以下の様な音でした。音声は小さいですがアナウンサーの声が聞き取れます。
KNB_radio.wav「ブレッドボードで作ったAMラジオ」の構成を回路をトラ技Jの図1から引用します。
ブレッドボードで処理しているのは、同調・講習は増幅、局部発振、ミキサの３つの機能だけです。 どうしてこんな単純なもので、ソフトウェアラジオが聞こえるのか不思議ですね。
「ブレッドボードで作ったAMラジオ」の回路をトラ技Jの図7から引用します。
第1回 パソコンでAMラジオ放送を聴く(補足資料)の4.1に周波数変換の原理について説明があります。
ミキサの原理は、放送波を\(v_{rin} = sin(2 \pi f_r t)\)、局部発振の出力を\(v_{LO} = sin(2 \pi f_{LO}t)\)とすると、 ミキサーからでる信号は、以下の様になります。
$$ \begin{eqnarray} v_{mix} & = & sin(2 \pi f_r t) \times sin(2 \pi f_{LO} t) \\ & = & \frac{1}{2} \left \{ -cos(2\pi(f_r + f_{LO})t) + cos(2\pi(f_r - f_{LO})t) \right \} \end{eqnarray} $$
つまり、\(f_r - f_{LO}\)の周波数を持つ低い波と\(f_r + f_{LO}\)の周波数を持つ高い波の2つの信号に分けることができます。 ローパスフィルターを使って高い波を取り除くと、\(f_r - f_{LO}\)の低い周波数帯で放送波を扱うことができます。 これが、ミキサによる周波数変換のマジックです。
ミキサの原理を第1回 パソコンでAMラジオ放送を聴く(補足資料)から図A.14を引用します。
AM波では、バンド幅を15kHzとしているので、北日本放送（738kHz）に対する局部発振周波数は、753kHzになります。 「ブレッドボードで作ったAMラジオ」の発振モジュール（秋月のLTC1799）の周波数をみてみると753kHzになっています。
実際にAM放送の信号が局部発振波（ここではsin波）を使ったミキサによって音声（ここでは2kHzのsin波）が取り出される様子を Sageを使って見てみましょう。
最初によく使う関数（Rutil.py）をロードします。
sageへの入力:
# R用のユーティリティーをロードする（showPNGで使用） load(DATA+'RUtil.py')
周波数が100kHz（北日本放送ではこれが738kHzです）で振幅1のsin波をVc(t)を定義し、Tend(0.002秒)まで出力してみます。
sageへの入力:
t= var('t')
Tend = 0.002
fc = 100000 # 100kHz
Vcm = 1.0
Vc(t) = Vcm*sin(2*pi*fc*t)
plot(Vc(t), [t, 0, Tend], figsize=5)
次に音声の代わりに2kHzのcos波をVs(t)と定義し、プロットします。
sageへの入力:
fs = 2000 # 2kHz Vsm = 0.25 Vs(t) = Vsm*cos(2*pi*fs*t)+0.75 plot(Vs(t), [t, 0, Tend], figsize=5, ymin=0)
WikipediaによるとAM変調は、以下の様に定義されています。 $$ v_{am} = (V_s + V_{cm})sin 2\pi f_c t $$
定義にそってAM変調された波をVam(t)を定義し、プロットします。 AM変調では、上下のエンベロープ（信号の端の形）に音声信号が現れます。
sageへの入力:
Vam(t) = (Vs(t) + Vcm)*sin(2*pi*fc*t) plot(Vam(t), [t, 0, Tend], figsize=5)
搬送波+15kHzの局部発振のsin波とVam(t)と掛け合わせると、以下の様に15kHzの波で音声波が 見えてきます。
sageへの入力:
band = 15000 # 15kHz Vcros(t) = Vam(t)*sin(2*pi*(fc+band)*t) plot(Vcros(t), [t, 0, Tend], figsize=5)
AM変調の復調には、ミキサされた信号を絶対値absを使って片方向に揃えます。 これで、音声の2kHzの形がぼんやり見えてきます。
sageへの入力:
plot(abs(Vcros(t)), [t, 0, Tend], figsize=5)
scipyを使ってローパスフィルター（butter_lowpass_filter関数）を定義します。
sageへの入力:
# scipyを使う準備 import numpy as np from scipy.signal import butter, lfilter, freqz import matplotlib.pyplot as plt
sageへの入力:
# ローパスフィルターを定義
def butter_lowpass(cutoff, fs, order=5):
nyq = 0.5 * fs
normal_cutoff = cutoff / nyq
b, a = butter(order, normal_cutoff, btype='low', analog=False)
return b, a
def butter_lowpass_filter(data, cutoff, fs, order=5):
b, a = butter_lowpass(cutoff, fs, order=order)
y = lfilter(b, a, data)
return y
サンプリングレートは、96kHzとし、ローパスフィルターのカットオフ周波数を4kHzとしました。
sageへの入力:
# フィルターの仕様を決定 order = 6 fs = 96000.0 # サンプリングレート（ 96kHz） cutoff = 4000.0 # カットオフ周波数（ 4kHz）
sageへの入力:
# scipyを使ってローパスフィルターを掛けるため、96kHzでサンプリング T = Tend n = int(T*fs) t = np.linspace(0, T, n, endpoint=False) # データを作成 data = [abs(Vcros(t_i)).n() for t_i in t]
ローパスフィルタを掛けた結果yとサンプリングデータdataをプロットします。 緑のフィルター後の波形に2kHzの波が取り出されています。
sageへの入力:
# dataにローパスフィルターを掛けて、オリジナルデータとフィルター後のデータを表示
y = butter_lowpass_filter(data, cutoff, fs, order)
plt.figure()
plt.plot(t, data, 'b-', label='data')
plt.plot(t, y, 'g-', linewidth=2, label='filtered data')
plt.xlabel('Time [sec]')
plt.grid()
plt.legend()
plt.savefig(DATA+'LPF.png')
sageへの入力:
showPNG('LPF.png')
局初のスイッチによる方形波をPiecewise使って以下の様に定義します。これから求まるフーリェ級数から、 奇数倍の周波数のsin波の足し合わせになっていることがわかります。
sageへの入力:
# 方形波が周波数が奇数倍のsin波を足し合わせたもの # フーリェ級数の係数を求めます。 g = Piecewise([[(-1/2,0), lambda x: 1], [(0, 1/2),lambda x:0]]) plot(g, figsize=5)
\(v_{LO}\)は、以下の様になります。 $$ v_{LO} = \frac{1}{2} + \frac{2 \, \sin\left(2 \, \pi x\right)}{\pi} + \frac{2 \, \sin\left(6 \, \pi x\right)}{3 \, \pi} + ... $$
次数を変えて、フーリェ級数で表される方形波をみてみましょう。nを31にすると定義の波に近くなりますが、 値が急に変わる不連続点では急な盛り上がりがでます。これはギブスの現象と呼ばれるものです。
sageへの入力:
# フーリェ級数 show(g.fourier_series_partial_sum(7,1/2))
sageへの入力:
p = plot(g.fourier_series_partial_sum(5, 1/2), -1,1, color='blue',legend_label='n=5') p += plot(g.fourier_series_partial_sum(11, 1/2), -1,1, color='red',legend_label='n=11') p += plot(g.fourier_series_partial_sum(31, 1/2), -1,1, color='green',legend_label='n=31') p.show(figsize=5)
入力波が\(v_{Rin} = V sin(2\pi f_{Rin} t)\)とすると、以下のように\(v_{mix}\)には、\(f_{Rin} - f_{LO}\)成分が含まれます。 $$ \begin{eqnarray} v_{mix} & = & v_{Rin} \times v_{LO} \\ & = & \frac{V}{2} sin(2 \pi f_{Rin} t) + \frac{V}{2\pi} \left \{ -cos(2\pi(f_{Rin} + f_{LO})t) + cos(2\pi(f_{Rin} - f_{LO})t) \right \} + ... \end{eqnarray} $$
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