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2011/04/08からのアクセス回数 7822

第1章-Sageを使って線形回帰を試してみる †

パターン認識と機械学習 は、機械学習に関するとても優れた教科書です。ここでは、Sageを使って教科書の例題を実際に試してみます。

第1章の例題として、\( sin(2 \pi x) \)の回帰問題について見てみます。

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データについて †

上巻の付録Aにあるように http://research.microsoft.com/~cmbishop/PRML から 例題のデータをダウンロードすることができます。

これから計算に使うSin曲線は、 $$ y = sin(2 \pi x) + \mathcal{N}(0,0.3) $$ で与えられたデータです。ここでは、curve fitting dataで提供されているデータを使用します。

最初に、データを座標Xと目的値tにセットし、sin曲線と一緒に表示してみます。

sageへの入力:

# PRMLのsin曲線のデータ
data = matrix([
        [0.000000, 0.349486],
        [0.111111, 0.830839],
        [0.222222, 1.007332],
        [0.333333, 0.971507],
        [0.444444, 0.133066],
        [0.555556, 0.166823],
        [0.666667, -0.848307],
        [0.777778, -0.445686],
        [0.888889, -0.563567],
        [1.000000, 0.261502],
        ]);
X = data.column(0)
t = data.column(1)
M = 3;
# データのプロット
sin_plt = plot(sin(2*pi*x),[x, 0, 1], rgbcolor='green');
data_plt = list_plot(zip(X, t)); data_plt
(data_plt + sin_plt).show()

sage0-0.png

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最小自乗法の解 †

3章の式(3.15)によると最小自乗法の解は、 $$ W_{ML} = ( \Phi^T \Phi )^{-1} \Phi^T t $$ で与えられます。ここで、\(\Phi\) は計画行列(design matrix)と呼ばれ、その要素は、\(\Phi_{nj} = \phi_j(x_n)\) 与えらます。

また、行列 \( \Phi^{\dagger} \)は、ムーア＿ベンローズの疑似逆行列と呼ばれています。 $$ \Phi^{\dagger} = \left( \Phi^T \Phi \right)^{-1} \Phi^T $$

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多項式フィッティング †

多項式フィッティングの式(1.1)では、\(y(x, w)\)を以下のように定義します。 $$ y(x, w) = \sum^{M}_{j=0} w_j x^j $$

そこで、\(\phi_j(x)\)を以下のように定義します。 $$ \phi_j(x) = x^j $$

sageへの入力:

# Φ関数定義
def _phi(x, j):
    return x^j
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行列のセットと解の計算 †

定義に従って計画行列\(\Phi\)、計画行列の転置行列\(\Phi^T\)、ムーア＿ベンローズの疑似逆行列\(\Phi^\dagger\)を求め、 平均の重み\(W_{ML}\)を計算します。

sageへの入力:

# 計画行列Φ
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); 
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; 
# 平均の重み
Wml = Phi_dag * t; Wml

(0.313702727439780, 7.98537103199157, -25.4261022423404, 17.3740765279263)
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多項式yの定義 †

sageでは、多項式y(x)を以下のように定義します。

sageへの入力:

# 出力関数yの定義
y = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));

sage0-1.png

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多項式線形回帰の結果 †

\(M=3\)の時の、多項式回帰の結果（赤）をサンプリング（青）とオリジナルの\(sin(2 \pi x)\)を合わせて プロットします。

sageへの入力:

y_plt = plot(y, [x, 0, 1],  rgbcolor='red'); 
(y_plt + data_plt + sin_plt).show();
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様々なMの結果 †

図1.3に相当する図を表示します。スライダーでMの値を変えてみてください。

\(M=9\)ではすべての点を通る曲線になりますが、元のsin曲線とはかけ離れた形になります。 これは、過学習（over fitting）と呼ばれる現象で、機械学習はこの過学習との戦いになります。

sageへの入力:

# PRMLの図1.3
@interact
def _(M=(0..9)):
    # 計画行列Φ
    Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); 
    Phi_t = Phi.transpose();
    # ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
    Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; 
    # 平均の重み
    Wml = Phi_dag * t; 
    f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
    y_plt = plot(f, [x, 0, 1],  rgbcolor='red'); 
    (y_plt + data_plt + sin_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);

sage0-2.png

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100個の検証用データを生成 †

サンプルを100個に増やした検証用データを生成します。

sageへの入力:

# 100個の検証用データを生成する
X100 = vector([random() for i in range(100)]); 
t100 = vector([(sin(2*pi*x) + +gauss(0, 0.3)).n() for x in X100.list()]);
#　100個のデータをプロット
lst100_plt = list_plot(zip(X100, t100), rgbcolor='gray');
(data_plt + lst100_plt + sin_plt).show()

sage0-3.png

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サンプルを増やした場合 †

サンプルを100個に増やし、\(M=9\)の多項式フィッティングを行ったのが、以下の図です（原書の図1.6に対応）。

サンプルを増やせば、\(M=9\)でも元のsin曲線に近い形になりますが、少数の貴重なサンプルではこのような方法は使えません。

sageへの入力:

M = 9;
# 計画行列Φ
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X100.list()]); 
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; 
# 平均の重み
Wml = Phi_dag * t100; Wml
f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
y_plt = plot(f, [x, 0, 1],  rgbcolor='red'); 
(y_plt + lst100_plt + sin_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);

sage0-4.png

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平均自乗平方根誤差 †

原書の1.1では訓練データとテスト用データの平均自乗平方根誤差、 $$ E(w) = \frac{1}{2} \sum^N_{n=1} \{ y(x_n, w) - t_n \}^2 $$ を使って最適なMの値を求める手法を紹介しています。

以下に訓練用データの\(E_{RMS}\)（青）、テスト用データの\(E_{RMS}\)（赤）でMに対する 値の変化を示します。M=3で訓練、テスト共に低い値となることが見て取れます。

sageへの入力:

# 平均自乗平方根誤差
Erms_t = [];
Erms_t100 = [];
for M in range(10):
    # 計画行列Φ
    Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); 
    Phi_t = Phi.transpose();
    # ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
    Phi_dag = (Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; 
    # 平均の重み
    Wml = Phi_dag * t; 
    f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
    Erms_t += [sqrt(sum((t[i] - f(X[i]))^2 for i in range(len(t)))/len(t))];
    Erms_t100 += [sqrt(sum((t100[i] - f(X100[i]))^2 for i in range(len(t100)))/len(t100))];
Erms_t_plt = list_plot(Erms_t);
Erms_t100_plt = list_plot(Erms_t100, rgbcolor = 'red');
(Erms_t_plt + Erms_t100_plt).show();
# グラフの傾向はPRMLと同じですが、値が若干ずれている？

sage0-5.png

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リッジ回帰 †

誤差関数にペナルティ項を追加し、過学習を防ぐ例として、リッジ回帰が紹介されています。 $$ \tilde{E}^(w) = \frac{1}{2} \sum^N_{n=1} \{ y(x_n, w) - t_n \}^2 + \frac{\lambda}{2} ||w||^2 $$ を使って正規化します。

以下にM=9の練習用データにリッジ回帰を行った結果を示します。

sageへの入力:

# リッジ回帰
M = 9;
N = len(t);
lam = n(e^-18);
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); 
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (lam*matrix((M+1),(M+1),1) + Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; 
# 平均の重み
Wml = Phi_dag * t;
f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
y_plt = plot(f, [x, 0, 1],  rgbcolor='red'); 
(y_plt + data_plt + sin_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);

sage0-6.png

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リッジ回帰に対する平均自乗平方根誤差 †

リッジ回帰に対する訓練用データの\(E_{RMS}\)（青）、テスト用データの\(E_{RMS}\)（赤）でMに対する 値の変化を示します。

sageへの入力:

# Ermsを取って過学習の度合いを見る
# 平均自乗平方根誤差
Erms_t = [];
Erms_t100 = [];
for ln_lam in range(-38, 1):
    lam = n(e^ln_lam);
    Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); 
    Phi_t = Phi.transpose();
    # ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
    Phi_dag = (lam*matrix((M+1),(M+1),1) + Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; 
    # 平均の重み
    Wml = Phi_dag * t;
    f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
    Erms_t += [[ln_lam, sqrt(sum((t[i] - f(X[i]))^2 for i in range(len(t)))/len(t))]];
    Erms_t100 += [[ln_lam, sqrt(sum((t100[i] - f(X100[i]))^2 for i in range(len(t100)))/len(t100))]];
Erms_t_plt = list_plot(Erms_t);
Erms_t100_plt = list_plot(Erms_t100, rgbcolor = 'red');
(Erms_t_plt + Erms_t100_plt).show();

sage0-7.png

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ベイズ的なフィッティング †

もっとも良い結果を示すのが、ベイズ的なフィッティングの結果です（原著図1.17）。 $$ m_N = \beta S_N \Phi^T t $$ $$ S^{-1}_{N} = \alpha I + \beta \Phi^T \Phi $$ で与えられます。（\(m_N\)は、直線回帰の\(W_{ML}\)に相当します）

以下に\(\alpha = 5 \times 10^{-3}, \beta = 11.1\)の練習用データのベイズ的なフィッティング結果を示します。

sageへの入力:

# ベイズ的なフィッティング
# α=5*10^-3, β=11.1を使用
alpha = 5*10^-3;
beta = 11.1;
Phi = matrix([[ _phi(x,j) for j in range(0, (M+1))] for x in X.list()]); 
Phi_t = Phi.transpose();
# ムーア＿ベンローズの疑似逆行列
Phi_dag = (alpha*matrix((M+1),(M+1),1) + beta*Phi_t * Phi).inverse() * Phi_t; 
# 平均の重み
Wml = beta*Phi_dag * t;
f = lambda x : sum(Wml[i]*x^i for i in range(0, (M+1)));
# 分散
def s(x):
    phi_x = vector([x^i for i in range(M+1)]);
    s_sqr = 1/beta + phi_x * Phi_dag * phi_x;
    return sqrt(s_sqr);
s_u_plt = plot(lambda x : f(x) + s(x), [x, 0, 1],  rgbcolor='grey'); 
s_d_plt = plot(lambda x : f(x) - s(x), [x, 0, 1],  rgbcolor='grey'); 
y_plt = plot(f, [x, 0, 1],  rgbcolor='red'); 
(y_plt + data_plt + sin_plt + s_u_plt + s_d_plt).show(ymin=-1.5, ymax=1.5);

sage0-8.png

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