AnalogDiscoveryを試す/01-CR積分回路
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開始行:
[[AnalogDiscoveryを試す]]
#contents
2014/11/8からのアクセス回数 &counter;
** 待望のAnalogDicovery [#w6a389ef]
秋月でも購入できるようになったAnlogDiscoveryを遅ればせな...
私の着目するAnalogDiscoveryの特徴は、以下の点にあります。...
- 2チャンネル・オシロスコープ
- 2チャンネル任意波形発生器
- ネットワーク・アナライザ
- 2チャンネルDC電源(PS+, PS-)
他にもロジックアラライザーの機能もありますが、ソースが公...
そちらはLabToolsを使用することにします。
&ref(AnalogDiscovery.png);
ピンの配置は、以下の通りです。
&ref(Analog_Discovery_pin.png);
** CR積分回路 [#je774f1d]
AnalogDiscoveryで最初に試すのは、CR積分回路です。以下にWi...
&ref(250px-Series-RC.svg.png);
*** LTSpiceを使って方形波に対するVcの変化を見る [#rdfe4d43]
AnalogDiscoveryで実験をする前にLTSpiceを使って方形波に対...
((LTSpiceがMacOSXでも動くようになりました。嬉しいです))
モデルは、以下のファイルを使用しました。
- &ref(CR_Int.asc);
LTSpiceで以下の回路を作成します。
&ref(CR_Int_cir.png);
50Hzでのシミュレーションの結果は、以下の様になりました。
&ref(CR_Int_Spice_50Hz.png);
同様に500Hz, 5kHzの結果を示します。
((5kHzでのシミュレーションでは、開始後から安定するまで少...
&ref(CR_Int_Spice_500Hz.png);
5kHzは、以下の様になります。
&ref(CR_Int_Spice_5KHz.png);
*** AnalogDiscoveryを使ってVcを測定する [#f66463f4]
トラ技2014年5月号では、アルミの箱を使うように進めていたの...
机の上での測定になります。((ご容赦ください。))
少しでも精度が良くなるように奮発してフィルムコンデンサー...
以下のようのブレッドボードに回路を組み、AnalogDiscoveryと...
((WaveFormsは、VMWare FusionのWindows上で実行しました。))
&ref(CR_Int_setting.png);
** AnalogDiscoveryを使った測定結果 [#ee13f664]
方形波の周波数を50Hz, 500Hz, 5kHzに変えて、Vcの応答を測定...
回路の時定数\(\tau\)は、\(C_1 R_1 = 10K \times 0.1 \mu = ...
50Hzの場合、コンデンサーに十分電荷が蓄積された後、放電が...
&ref(th_CR_Int_50Hz.jpg);
500Hzでは、方形波の変化が時定数の1msとなっており、方形波...
((実際に波形をみると積分した形になっていることに感動しま...
&ref(th_CR_Int_500Hz.jpg);
5kHzになるとほとんど変化しなくなり、ローパスフィルターの...
&ref(th_CR_Int_5KHz.jpg);
*** 周波数特性を測る [#g0527959]
AnalogDiscoveryを購入する動機になったのが、周波数特性を計...
ネットワーク・アナライザを使って周波数特性を測ったのが、...
これは、入力波と出力はの2チャンネルのアナログ測定値から計...
&ref(th_CR_Int_network.jpg);
** CR積分回路の意味を考える [#kfedd697]
50HzのVcの応答を見ると、コンデンサーに蓄積された電荷が方...
放電している様子が分かります。
微分方程式を解いて、CR回路を計算するのは、[[sage/微分方程...
ここではラプラス変換を使って、Vcの応答を計算してみます。
参考にしたのは、間邊 幸三郎さんのサイトです。((ほぼコピ...
- [[ラプラス変換とその使い方5 いろいろな波形の過渡現象>ht...
ラプラス変換ではラプラス積分を直接計算するのではなく、既...
*** CR積分回路のラプラス変換 [#o809dcab]
CR積分回路と方形波の入力の関係を
[[ラプラス変換とその使い方5 いろいろな波形の過渡現象>http...
の図11から引用します。
&ref(11.png);
この回路の入力波とRとCの電圧の関係から以下の式が成り立ち...
((Eの中括弧がそのまま書いたので、latexの処理で消えてしま...
$$
R i + \frac{\int i dt}{C} = E \left\{ u(t) - u(t - T)\ri...
$$
この式を7 t推移法則とステップ関数のラプラス変換\( \frac{1...
$$
R I(s) + \frac{I(s) + q(0)}{sC} =E \frac{1 - e^{-Ts}}{s}
$$
これから\(I(s)\)を求めると、以下の様になります。
$$
I(s) = \frac{1 - e^{-Ts}}{s ( R + \frac{1}{sC} )} E = \fr...
$$
ラプラス逆変換を\( L^{-1}(s) \)と表すと\( i \)は、以下の...
$$
i = \frac{E}{R} L^{-1} \left \{ (1 - e^{-Ts}) \frac{1}{s ...
$$
線形法則で分配して、
$$
i = \frac{E}{R} \left \{ L^{-1} \frac{1}{s + \frac{1}{CR}...
$$
これをラプラス変換表を使って以下の様に書き替えます。
$$
i = \frac{E}{R} \left \{ e^{-\frac{1}{CR}t} - e^{-\frac{1...
$$
電流iからCの両端の電圧Vcは、以下の様に求まります。
$$
V_C = E \left\{ u(t) - u(t - T)\right\} - iR
$$
これからt < TのVcは、
$$
V_C = E(1 - e^{-\frac{1}{CR}t})
$$
t >= TのVcは、
$$
V_C = E \left \{ - e^{-\frac{1}{CR}t} + e^{-\frac{1}{CR}(...
$$
*** Sageを使ってグラフを表示 [#o940658c]
出力となるVcの式は分かりましたが、そのままではどんな形に...
そこで、Sageを使ってグラフを表示してみましょう。
ここで紹介するSageのノートは、以下のURLで公開しています。
- http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/48/
CRを時間係数\( \tau \)として、VcをSageで表すと以下の様に...
#pre{{
(t, T, tau, E) = var('t T tau E')
Vc = E*(1*(unit_step(t) - unit_step(t - T)) - e^(-1/tau*t...
}}
数式を見やすくすると、
#pre{{
show(Vc)
}}
&ref(eq1.png);
方形波を以下のように定義します。
#pre{{
# 方形波
U = E*(unit_step(t) - unit_step(t - T))
}}
方形波とVcを合わせてプロットする関数plot_Vcを以下の様に定...
#pre{{
# 方形波とVcをプロットする関数を定義します
def plot_Vc(Tc):
fvc(t) = Vc(t, tau=0.001, T=Tc, E=2.0)
Ut(t) = U(T=Tc, E=2.0)
vc_plt = plot(fvc(t), [t, 0, 2*Tc], color='blue')
ut_plt = plot(Ut(t), [t, 0, 2*Tc], color='green')
(vc_plt + ut_plt).show(figsize=4)
}}
Tc=0.01、周期50HzでのVcのプロットします。
#pre{{
# Tc=0.01、周期50HzでのVcのプロット
plot_Vc(Tc=0.01)
}}
&ref(plt_50Hz.png);
Tc=0.001、周期500HzでのVcのプロットします。
#pre{{
# Tc=0.001、周期500HzでのVcのプロット
plot_Vc(Tc=0.001)
}}
&ref(plt_500Hz.png);
Tc=0.0001、周期5kHzでのVcのプロットします。
#pre{{
# Tc=0.0001、周期5kHzでのVcのプロット
plot_Vc(Tc=0.0001)
}}
&ref(plt_5kHz.png);
** 周波数特性 [#ne178f04]
もう一度、最初の図に戻って、CR積分回路の周波数特性を求め...
&ref(250px-Series-RC.svg.png);
この図から、\( v_{in} \)を式で表現すると以下の様になりま...
$$
R i + \frac{\int i dt}{C} = v_{in}
$$
これをラプラス変換すると、以下の様になり、
$$
R I(s) + \frac{I(s) + q(0)}{sC} = V_{in}
$$\(V_RとV_C\)が分圧しているみると、伝達関数の周波数特性...
$$
H_C (s) = \frac{V_C(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{Cs}}{...
$$
これを整理すると、以下の式が得られます。
$$
H_C(s) = \frac{1}{RCs + 1}
$$
振幅特性は、
$$
\|{H_C(s) }\|
$$
位相特性は、sをjωとし、以下のように表されます。
$$
G(j\omega) = \Re{G(j\omega)} + j \Im{G(j\omega)}
$$
従って、\( H_C(j\omega) \)の実数部と虚数部に分けると位相...
$$
\phi(G(j\omega)) = \tan^{-1} \frac{\Im(G(j\omega))} {\Re{...
$$
RSをτとして、\( \phi(G(j\omega)) \)を表し、上下に\( 1 - \...
$$
G(j\omega) = \frac{1}{1 + \tau^2 \omega^2}( 1 - \tau \o...
$$
となり、位相特性は以下の様に求まります。
$$
\phi(G(j\omega)) = \tan^{-1} -\tau \omega
$$
これをSageを使って計算みます。
ここで、\( s= j \omega = 2 \pi f j \)であることを使います。
Sageへの入力:
#pre{{
# 伝達関数から周波数特性を求める
(s, f,R,C) = var('s f R C')
Hc = 1/(R*C*s + 1)
}}
Sageへの入力:
#pre{{
# s = jω, ω= 2πfを代入すると
Hc(f) = Hc.subs_expr(s == 2*i*pi*f)
show(Hc(f))
}}
&ref(eq2.png);
Sageへの入力:
#pre{{
# 電気ではデジベルで表示するため、toDb関数を定義する
def toDb(v):
return 20*log(abs(v), 10)
}}
Sageへの入力:
#pre{{
# 直接表示すると'unable to simplify to float approximatio...
# plot(toDb(Hc(f, R=10000, C=10^-7)).n(), [f, 10, 10000],...
#
plot(lambda f: toDb(Hc(f, R=10000, C=10^-7)).n(), [f, 10,...
}}
&ref(gain.png);
Sageへの入力:
#pre{{
# 位相は以下の様になります。
PhiC(f) = arctan(-2*pi*f*R*C)
show(PhiC)
}}
&ref(eq3.png);
表示℃で変換する関数を定義する。
#pre{{
def toDeg(v):
return v*180/pi
}}
位相をプロットします。
Sageへの入力:
#pre{{
plot(lambda f: toDeg(PhiC(f, R=10000, C=10^-7)).n(), [f, ...
}}
&ref(phase.png);
** 付録（ラプラス変換規則と主な関数の変換表） [#x2901cc7]
ラプラス変換の基本法則を以下に示します。
| 法則 | t関数 | s関数 |h
| 1 線形法則 | \( a f(t) \) | \( a F(s) \) |
| 2 線形法則 | \( f(t) + g(t) \) | \( F(s) + G(s) \) |
| 3 相似法則 | \( f(at) \) | \( \frac{1}{a} F \left ( \fr...
| 4 s推移法則 | \( e^{-at} f(t) \) | \( F(s + a) \) |
| 5 微分法則 | \( \frac{d f(t)}{dt} \) | \( sF(s) - f(0)...
| 6 積分法則 | \( \int f(t)dt \) | \( \frac{F(s)}{s} + \f...
| 7 t推移法則 | \( f(t - a) \) | \( e^{-as} F(s) \) |
主な関数のラプラス変換表を以下に示します。((このテーブル...
| t関数 | s関数 |h
| \(\delta\) | 1 |
| \(u(t)\) | \(\frac{1}{s}\) |
| \(t\) | \(\frac{1}{s^{2}}\) |
| \(t^2\) | \(\frac{1}{s^{3}}\) |
| \(t^n\) | \(s^{{(-n - 1)}} \Gamma\left(n + 1\right)\) |
| \(cos(\omega t)\) | \(\frac{s}{{(\omega^{2}+s^{2})}}\) |
| \(sin(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{{(\omega^{2} + s^{2...
| \(e^{a t}\) | \(-\frac{1}{{(a - s)}}\) |
| \(t e^{a t}\) | \(\frac{1}{{(a - s)}^{2}}\) |
** コメント [#f27be5ad]
#vote(おもしろかった[17],そうでもない[0],わかりずらい[0])
皆様のご意見、ご希望をお待ちしております。勉強会で分から...
スパム防止に画像の文字列も入力してください。
- いくつかの式のミスを修正しました。 -- [[竹本 浩]] &new...
- ラプラス変換表の1をu(t)に修正しました。 -- [[竹本 浩]]...
#comment_kcaptcha
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[[AnalogDiscoveryを試す]]
#contents
2014/11/8からのアクセス回数 &counter;
** 待望のAnalogDicovery [#w6a389ef]
秋月でも購入できるようになったAnlogDiscoveryを遅ればせな...
私の着目するAnalogDiscoveryの特徴は、以下の点にあります。...
- 2チャンネル・オシロスコープ
- 2チャンネル任意波形発生器
- ネットワーク・アナライザ
- 2チャンネルDC電源(PS+, PS-)
他にもロジックアラライザーの機能もありますが、ソースが公...
そちらはLabToolsを使用することにします。
&ref(AnalogDiscovery.png);
ピンの配置は、以下の通りです。
&ref(Analog_Discovery_pin.png);
** CR積分回路 [#je774f1d]
AnalogDiscoveryで最初に試すのは、CR積分回路です。以下にWi...
&ref(250px-Series-RC.svg.png);
*** LTSpiceを使って方形波に対するVcの変化を見る [#rdfe4d43]
AnalogDiscoveryで実験をする前にLTSpiceを使って方形波に対...
((LTSpiceがMacOSXでも動くようになりました。嬉しいです))
モデルは、以下のファイルを使用しました。
- &ref(CR_Int.asc);
LTSpiceで以下の回路を作成します。
&ref(CR_Int_cir.png);
50Hzでのシミュレーションの結果は、以下の様になりました。
&ref(CR_Int_Spice_50Hz.png);
同様に500Hz, 5kHzの結果を示します。
((5kHzでのシミュレーションでは、開始後から安定するまで少...
&ref(CR_Int_Spice_500Hz.png);
5kHzは、以下の様になります。
&ref(CR_Int_Spice_5KHz.png);
*** AnalogDiscoveryを使ってVcを測定する [#f66463f4]
トラ技2014年5月号では、アルミの箱を使うように進めていたの...
机の上での測定になります。((ご容赦ください。))
少しでも精度が良くなるように奮発してフィルムコンデンサー...
以下のようのブレッドボードに回路を組み、AnalogDiscoveryと...
((WaveFormsは、VMWare FusionのWindows上で実行しました。))
&ref(CR_Int_setting.png);
** AnalogDiscoveryを使った測定結果 [#ee13f664]
方形波の周波数を50Hz, 500Hz, 5kHzに変えて、Vcの応答を測定...
回路の時定数\(\tau\)は、\(C_1 R_1 = 10K \times 0.1 \mu = ...
50Hzの場合、コンデンサーに十分電荷が蓄積された後、放電が...
&ref(th_CR_Int_50Hz.jpg);
500Hzでは、方形波の変化が時定数の1msとなっており、方形波...
((実際に波形をみると積分した形になっていることに感動しま...
&ref(th_CR_Int_500Hz.jpg);
5kHzになるとほとんど変化しなくなり、ローパスフィルターの...
&ref(th_CR_Int_5KHz.jpg);
*** 周波数特性を測る [#g0527959]
AnalogDiscoveryを購入する動機になったのが、周波数特性を計...
ネットワーク・アナライザを使って周波数特性を測ったのが、...
これは、入力波と出力はの2チャンネルのアナログ測定値から計...
&ref(th_CR_Int_network.jpg);
** CR積分回路の意味を考える [#kfedd697]
50HzのVcの応答を見ると、コンデンサーに蓄積された電荷が方...
放電している様子が分かります。
微分方程式を解いて、CR回路を計算するのは、[[sage/微分方程...
ここではラプラス変換を使って、Vcの応答を計算してみます。
参考にしたのは、間邊 幸三郎さんのサイトです。((ほぼコピ...
- [[ラプラス変換とその使い方5 いろいろな波形の過渡現象>ht...
ラプラス変換ではラプラス積分を直接計算するのではなく、既...
*** CR積分回路のラプラス変換 [#o809dcab]
CR積分回路と方形波の入力の関係を
[[ラプラス変換とその使い方5 いろいろな波形の過渡現象>http...
の図11から引用します。
&ref(11.png);
この回路の入力波とRとCの電圧の関係から以下の式が成り立ち...
((Eの中括弧がそのまま書いたので、latexの処理で消えてしま...
$$
R i + \frac{\int i dt}{C} = E \left\{ u(t) - u(t - T)\ri...
$$
この式を7 t推移法則とステップ関数のラプラス変換\( \frac{1...
$$
R I(s) + \frac{I(s) + q(0)}{sC} =E \frac{1 - e^{-Ts}}{s}
$$
これから\(I(s)\)を求めると、以下の様になります。
$$
I(s) = \frac{1 - e^{-Ts}}{s ( R + \frac{1}{sC} )} E = \fr...
$$
ラプラス逆変換を\( L^{-1}(s) \)と表すと\( i \)は、以下の...
$$
i = \frac{E}{R} L^{-1} \left \{ (1 - e^{-Ts}) \frac{1}{s ...
$$
線形法則で分配して、
$$
i = \frac{E}{R} \left \{ L^{-1} \frac{1}{s + \frac{1}{CR}...
$$
これをラプラス変換表を使って以下の様に書き替えます。
$$
i = \frac{E}{R} \left \{ e^{-\frac{1}{CR}t} - e^{-\frac{1...
$$
電流iからCの両端の電圧Vcは、以下の様に求まります。
$$
V_C = E \left\{ u(t) - u(t - T)\right\} - iR
$$
これからt < TのVcは、
$$
V_C = E(1 - e^{-\frac{1}{CR}t})
$$
t >= TのVcは、
$$
V_C = E \left \{ - e^{-\frac{1}{CR}t} + e^{-\frac{1}{CR}(...
$$
*** Sageを使ってグラフを表示 [#o940658c]
出力となるVcの式は分かりましたが、そのままではどんな形に...
そこで、Sageを使ってグラフを表示してみましょう。
ここで紹介するSageのノートは、以下のURLで公開しています。
- http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/48/
CRを時間係数\( \tau \)として、VcをSageで表すと以下の様に...
#pre{{
(t, T, tau, E) = var('t T tau E')
Vc = E*(1*(unit_step(t) - unit_step(t - T)) - e^(-1/tau*t...
}}
数式を見やすくすると、
#pre{{
show(Vc)
}}
&ref(eq1.png);
方形波を以下のように定義します。
#pre{{
# 方形波
U = E*(unit_step(t) - unit_step(t - T))
}}
方形波とVcを合わせてプロットする関数plot_Vcを以下の様に定...
#pre{{
# 方形波とVcをプロットする関数を定義します
def plot_Vc(Tc):
fvc(t) = Vc(t, tau=0.001, T=Tc, E=2.0)
Ut(t) = U(T=Tc, E=2.0)
vc_plt = plot(fvc(t), [t, 0, 2*Tc], color='blue')
ut_plt = plot(Ut(t), [t, 0, 2*Tc], color='green')
(vc_plt + ut_plt).show(figsize=4)
}}
Tc=0.01、周期50HzでのVcのプロットします。
#pre{{
# Tc=0.01、周期50HzでのVcのプロット
plot_Vc(Tc=0.01)
}}
&ref(plt_50Hz.png);
Tc=0.001、周期500HzでのVcのプロットします。
#pre{{
# Tc=0.001、周期500HzでのVcのプロット
plot_Vc(Tc=0.001)
}}
&ref(plt_500Hz.png);
Tc=0.0001、周期5kHzでのVcのプロットします。
#pre{{
# Tc=0.0001、周期5kHzでのVcのプロット
plot_Vc(Tc=0.0001)
}}
&ref(plt_5kHz.png);
** 周波数特性 [#ne178f04]
もう一度、最初の図に戻って、CR積分回路の周波数特性を求め...
&ref(250px-Series-RC.svg.png);
この図から、\( v_{in} \)を式で表現すると以下の様になりま...
$$
R i + \frac{\int i dt}{C} = v_{in}
$$
これをラプラス変換すると、以下の様になり、
$$
R I(s) + \frac{I(s) + q(0)}{sC} = V_{in}
$$\(V_RとV_C\)が分圧しているみると、伝達関数の周波数特性...
$$
H_C (s) = \frac{V_C(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{Cs}}{...
$$
これを整理すると、以下の式が得られます。
$$
H_C(s) = \frac{1}{RCs + 1}
$$
振幅特性は、
$$
\|{H_C(s) }\|
$$
位相特性は、sをjωとし、以下のように表されます。
$$
G(j\omega) = \Re{G(j\omega)} + j \Im{G(j\omega)}
$$
従って、\( H_C(j\omega) \)の実数部と虚数部に分けると位相...
$$
\phi(G(j\omega)) = \tan^{-1} \frac{\Im(G(j\omega))} {\Re{...
$$
RSをτとして、\( \phi(G(j\omega)) \)を表し、上下に\( 1 - \...
$$
G(j\omega) = \frac{1}{1 + \tau^2 \omega^2}( 1 - \tau \o...
$$
となり、位相特性は以下の様に求まります。
$$
\phi(G(j\omega)) = \tan^{-1} -\tau \omega
$$
これをSageを使って計算みます。
ここで、\( s= j \omega = 2 \pi f j \)であることを使います。
Sageへの入力:
#pre{{
# 伝達関数から周波数特性を求める
(s, f,R,C) = var('s f R C')
Hc = 1/(R*C*s + 1)
}}
Sageへの入力:
#pre{{
# s = jω, ω= 2πfを代入すると
Hc(f) = Hc.subs_expr(s == 2*i*pi*f)
show(Hc(f))
}}
&ref(eq2.png);
Sageへの入力:
#pre{{
# 電気ではデジベルで表示するため、toDb関数を定義する
def toDb(v):
return 20*log(abs(v), 10)
}}
Sageへの入力:
#pre{{
# 直接表示すると'unable to simplify to float approximatio...
# plot(toDb(Hc(f, R=10000, C=10^-7)).n(), [f, 10, 10000],...
#
plot(lambda f: toDb(Hc(f, R=10000, C=10^-7)).n(), [f, 10,...
}}
&ref(gain.png);
Sageへの入力:
#pre{{
# 位相は以下の様になります。
PhiC(f) = arctan(-2*pi*f*R*C)
show(PhiC)
}}
&ref(eq3.png);
表示℃で変換する関数を定義する。
#pre{{
def toDeg(v):
return v*180/pi
}}
位相をプロットします。
Sageへの入力:
#pre{{
plot(lambda f: toDeg(PhiC(f, R=10000, C=10^-7)).n(), [f, ...
}}
&ref(phase.png);
** 付録（ラプラス変換規則と主な関数の変換表） [#x2901cc7]
ラプラス変換の基本法則を以下に示します。
| 法則 | t関数 | s関数 |h
| 1 線形法則 | \( a f(t) \) | \( a F(s) \) |
| 2 線形法則 | \( f(t) + g(t) \) | \( F(s) + G(s) \) |
| 3 相似法則 | \( f(at) \) | \( \frac{1}{a} F \left ( \fr...
| 4 s推移法則 | \( e^{-at} f(t) \) | \( F(s + a) \) |
| 5 微分法則 | \( \frac{d f(t)}{dt} \) | \( sF(s) - f(0)...
| 6 積分法則 | \( \int f(t)dt \) | \( \frac{F(s)}{s} + \f...
| 7 t推移法則 | \( f(t - a) \) | \( e^{-as} F(s) \) |
主な関数のラプラス変換表を以下に示します。((このテーブル...
| t関数 | s関数 |h
| \(\delta\) | 1 |
| \(u(t)\) | \(\frac{1}{s}\) |
| \(t\) | \(\frac{1}{s^{2}}\) |
| \(t^2\) | \(\frac{1}{s^{3}}\) |
| \(t^n\) | \(s^{{(-n - 1)}} \Gamma\left(n + 1\right)\) |
| \(cos(\omega t)\) | \(\frac{s}{{(\omega^{2}+s^{2})}}\) |
| \(sin(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{{(\omega^{2} + s^{2...
| \(e^{a t}\) | \(-\frac{1}{{(a - s)}}\) |
| \(t e^{a t}\) | \(\frac{1}{{(a - s)}^{2}}\) |
** コメント [#f27be5ad]
#vote(おもしろかった[17],そうでもない[0],わかりずらい[0])
皆様のご意見、ご希望をお待ちしております。勉強会で分から...
スパム防止に画像の文字列も入力してください。
- いくつかの式のミスを修正しました。 -- [[竹本 浩]] &new...
- ラプラス変換表の1をu(t)に修正しました。 -- [[竹本 浩]]...
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