sage/データ解析のための統計モデリング入門勉強ノート第2章
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2014/03/16からのアクセス回数 &counter;
ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロー...
http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/38/
また、Sageのサーバを公開しているサイト（http://www.sagenb...
アップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すこ...
* Sageでグラフを再現してみよう：データ解析のための統計モ...
この企画は、雑誌や教科書にでているグラフをSageで再現し、
グラフの意味を理解すると共にSageの使い方をマスターするこ...
今回は、
[[データ解析のための統計モデリング入門>http://www.amazon....
（以下、久保本と書きます）
の第２章の例題をSageを使って再現してみます。久保氏のブロ...
「データ解析のための統計モデリング入門」は自然科学を学ぶ...
数式処理システムSageのノートブックは、計算結果を表示する...
この機会にSageを分析に活用してみてはいかがでしょう。
** 前準備 [#c93b62ac]
最初に必要なライブラリーやパッケージをロードしておきます...
sageへの入力:
#pre{{
# Rの必要なライブラリ
#r("install.packages('ggplot2')")
r('library(ggplot2)')
r('library(jsonlite)')
# python用のパッケージ
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ggplot import *
# RUtilにRとPandasのデータフレームを相互に変換する関数を...
load(DATA + 'RUtil.py')
}}
** 例題のデータ [#e9cad38b]
2章の例題に使われているデータは、架空の植物の第i番目の個...
本の図２．１を以下に引用します。
&ref(Fig2.1.png);
2章のデータは、ネット公開されており、
[[本のサポートサイト>http://hosho.ees.hokudai.ac.jp/~kubo...
からダウンロードできます。
ここでは、DATAディレクトリにdata.RDataをアップし、このノ...
データをロードしたら、summary関数とvar関数を使ってデータ...
ここで、確認することは、以下の3項目です。
- データの個数と欠損値の有無
- データの平均
- データの分散
sageへの入力:
#pre{{
# 2章のデータdata.RDataをダウンロードし、Rにロードする
r('load("%s")' % (DATA + 'data.RData'))
# summaryで平均と分散が大体同じであることがポアソン分布の...
print r('summary(data)')
print r('var(data)')
}}
#pre{{
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 2.00 3.00 3.56 4.75 7.00
[1] 2.986122
}}
*** データの可視化 [#y496e6c7]
データの分布を見るには、Rのtable関数を使って度数分布を計...
sageへの入力:
#pre{{
# 度数分布を計算
r('table(data)')
}}
#pre{{
data
0 1 2 3 4 5 6 7
1 3 11 12 10 5 4 4
}}
sageへの入力:
#pre{{
# Rのhistを使ってヒストグラムをプロットする
graph = preGraph("fig2.2-R.png")
r('p <- hist(data, breaks = seq(-0.5, 9.5, 1))')
r('plot(p)')
postGraph(graph)
}}
&ref(fig2.2-R.png);
** Pandasを使って同様の処理に挑戦 [#ab6eb20c]
Rのライブラリはとても豊富で実績もありますが、個人的には関...
そこで、SageにPandasライブラリをインストールして、これを...
Rから配列データを取り出すには、sageobj関数を使います。
sageへの入力:
#pre{{
# 同様の処理をPandasを使ってやってみます
# rからSageにデータを変換
data = sageobj(r('data')); data
}}
#pre{{
[2, 2, 4, 6, 4, 5, 2, 3, 1, 2, 0, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 7,...
}}
*** データフレームに変換 [#xbd16369]
Rから取り込んだ2章のデータをPandasのデータフレームにしま...
sageへの入力:
#pre{{
# ggplotでプロットできるようにDataFrameにする
orgData = pd.DataFrame(data, columns = ['data'])
}}
データフレームにしたorgDataからRのsummaryと同様の情報をde...
sageへの入力:
#pre{{
# RのsummaryのようにPandasのDataFrameの情報を出力するには...
orgData.describe()
}}
#pre{{
data
count 50.00000
mean 3.56000
std 1.72804
min 0.00000
25% 2.00000
50% 3.00000
75% 4.75000
max 7.00000
[8 rows x 1 columns]
}}
*** ggplotを使ってヒストグラムを表示 [#zd59b702]
Sageにはヒストグラムをプロットする関数がないので、ggplot...
ヒストグラムをプロットします。ほとんどRのggplot2と同じよ...
ことができます。
sageへの入力:
#pre{{
# Sageにはヒストグラムをプロットする関数がないので、ggplo...
# 50個の度数になるようにprob*50としてプロットしている
ggplot(orgData, aes(x='data')) + geom_histogram(binwidth=1)
}}
#pre{{
<ggplot: (15907857)>
}}
残念ながら、ggplotのヒストグラムにはバグがあるようで、最...
sageへの入力:
#pre{{
# ヒストグラムの最後のプロットがRと異なる
ggsave('fig_2.2-g.png', dpi=50)
}}
#pre{{
Saving 11.0 x 8.0 in image.
}}
&ref(fig_2.2-g.png);
** ポアソン分布の表示 [#z55d7f88]
データのsummaryで平均値と分散が同じ値を示すことからデータ...
ポアソン分布では、データの平均がポアソン分布のλの値になる...
を表示してみます。
yに０から9の値をセットし、r.dpoisでSageからRのdpoisを使っ...
probにセットします。
sageへの入力:
#pre{{
# ポアソン分布を表示
y = range(10); y
}}
#pre{{
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
}}
sageへの入力:
#pre{{
# dpoisの戻り値が複素数になっているので、floatで浮動小数...
prob = [float(r.dpois(v, 3.56).n()) for v in y]; prob
}}
#pre{{
[0.0284388247141845, 0.101242215982497, 0.180211144448844...
0.135512821643688, 0.0804042741752548, 0.040891316580558...
}}
*** ポアソン分布をプロットする [#s2f9884a]
Sageのlist_plotを使ってλ=3.56に対するポアソン分布をプロッ...
sageへの入力:
#pre{{
# Sage版 Fig. 2.4
list_plot(zip(y, prob), figsize=5)
}}
&ref(sage1.png);
*** 同様の図をggplotで表示してみる [#s77ae509]
今後、ggplotを頻繁に活用して図化したいと考えているので、...
のgeom_pointで表示してみます。
ggplotを使うことでとても簡単に高品質のグラフが出来上がり...
sageへの入力:
#pre{{
# yとprobからデータフレームを作る
# 同様のプロットをggplotで表示してみる
df = pd.DataFrame(zip(y, prob), columns = ['y', 'prob'])
# ggplotでプロットしてみる
ggplot(df, aes(x='y', y='prob')) + geom_point()
}}
#pre{{
<ggplot: (15979209)>
}}
sageへの入力:
#pre{{
ggsave('fig_2.4.png', dpi=50)
}}
#pre{{
Saving 11.0 x 8.0 in image.
}}
&ref(fig_2.4.png);
*** 観測データとの重ね合わせ [#rc2c3349]
ggplotの大きな特徴の一つにデータの重ね合わせがあります。
ggplotのgeom_histogramとgeom_pointを足し合わせるだけで、...
sageへの入力:
#pre{{
# 観測データと平均3.56のポアソン分布を重ね合わせてみる
# 50個の度数になるようにprob*50としてプロットしている
ggplot(orgData, aes(x='data')) + \
geom_histogram(binwidth=1, alpha=0.6, color='grey') + \
geom_point(df, aes(x='y', y='prob*50'), size=100, col...
}}
#pre{{
<ggplot: (16444061)>
}}
sageへの入力:
#pre{{
ggsave('fig_2.5.png', dpi=50)
}}
#pre{{
Saving 11.0 x 8.0 in image.
}}
&ref(fig_2.5.png);
** ポアソン分布の特徴 [#n22f16f6]
ポアソン分布がλを変えることでどのように分布が変わるのか、...
SageのGraphisもグラフの重ね合わせたggplot同様にともて簡単...
ですから、ggplotとSageの相性もとても良いのです。
sageへの入力:
#pre{{
# ポアソン関数p(y, λ)を定義
def p(y, lam):
return lam^y*e^(-lam)/factorial(y)
}}
sageへの入力:
#pre{{
# 様々な平均（λ）のポアソン分布
# Fig. 2.6
g = Graphics()
for lam, cls in [(3.5, 'red'), (7.7, 'blue'), (15.1, 'gre...
g = g + list_plot([p(y, lam) for y in range(20)], col...
g.show(figsize=5)
}}
&ref(sage2.png);
** ポアソン分布の最尤推定 [#oabe9ecc]
尤度を「あてはまりの良さ」であり、L(λ)と書きます。ポアソ...
$$
L(\lambda) = \prod_{i} p(y_i | \lambda) = \prod_{i} \frac...
$$
L(λ) の対数とったものを対数尤度と呼び、上記の定義から以下...
$$
log L(\lambda) = \sum_{i} \left( y_i log \lambda - \lamb...
$$
このL(λ)が最大になるλは、L(λ)をλで偏微分することで求まり...
$$
\frac{\partial log L(\lambda)}{\partial \lambda} = \sum_i...
$$
この結果は、データの標本平均$\hat{\lambda}$となり、例題の...
$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{50} \sum_i y_i = データの標本平...
$$
この式を例題のデータに対して、λ = 3.6としてその値の和をと...
sageへの入力:
#pre{{
# lambda=3.6の対数尤度を計算してみる。本の図2.7のlog Lと...
orgData.data.apply(lambda y : r.dpois(y, 3.6, log=True))....
}}
#pre{{
[1] -97.25516
}}
*** 例題データの対数尤度を計算する関数logLを定義 [#h6ff8e...
そこで、例題データに対する対数尤度を計算するlogLを以下の...
対数尤度が最大になるようなλを求めてみます。
sageへの入力:
#pre{{
# 対数尤度の計算
def logL(m):
return orgData.data.apply(lambda y : r.dpois(y, m, lo...
}}
確認のため、 今度は$\lambda=2.0の対数尤度は、logL = -121....
sageへの入力:
#pre{{
# 関数の確認、今度はlambda=2の値でチェック
print logL(2)
}}
#pre{{
-121.881181786917
}}
*** 例題の最尤推定値 [#he30177e]
λの最尤推定値をグラフから求めてみます。λ=2.0から5.0を0.1...
sageへの入力:
#pre{{
# グラフから最大となる対数尤度を求める（少し時間が掛かる）
lams = np.arange(2.0, 5.0, 0.1)
Ls = [logL(x) for x in lams]
}}
結果は、以下の様になり、標本の平均値3.56近辺で最大になっ...
sageへの入力:
#pre{{
# plotだと時間がかかるので、list_plotで代用
# Fig. 2.8
list_plot(zip(lams, Ls), figsize=5, plotjoined =True)
}}
&ref(sage3.png);
** 疑似乱数と最尤推定値のばらつき [#uae72a6b]
久保本のすごいところは、疑似乱数を使って最尤推定値のばら...
平均3.5のポアソン分布の50個のサンプルを1000セット作って、...
してみます。
sageへの入力:
#pre{{
# 平均3.5のポアソン分布のサンプルを50個を1000セット生成し...
poisSet3000 = [ r.rpois(50, 3.5).mean().n() for i in rang...
}}
*** 最尤推定値のばらつき [#fab7402c]
今度は、Pandasの持つ、ヒストグラムプロット機能を使って最...
sageへの入力:
#pre{{
# Pandasのグラフ機能を使ってヒストグラムを表示する（ggplo...
df3000 = pd.DataFrame({ 'lambda': np.array(poisSet3000)})...
}}
#pre{{
lambda
0 (3.7+0j)
1 (3.36+0j)
2 (3.58+0j)
3 (3.78+0j)
4 (3.56+0j)
[5 rows x 1 columns]
}}
sageへの入力:
#pre{{
df3000.hist()
plt.savefig("df3000.png", dpi=70)
}}
&ref(df3000.png);
** コメント [#p46ea21d]
#vote(おもしろかった[2],そうでもない[1],わかりずらい[0])
皆様のご意見、ご希望をお待ちしております。
- 「データ解析のための統計モデリング入門」の著者の久保拓...
- 偏微分が０であることが式に追加した -- [[竹本 浩]] &new...
#comment_kcaptcha
終了行:
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#contents
2014/03/16からのアクセス回数 &counter;
ここで紹介したSageワークシートは、以下のURLからダウンロー...
http://www15191ue.sakura.ne.jp:8000/home/pub/38/
また、Sageのサーバを公開しているサイト（http://www.sagenb...
アップロードし、実行したり、変更していろいろ動きを試すこ...
* Sageでグラフを再現してみよう：データ解析のための統計モ...
この企画は、雑誌や教科書にでているグラフをSageで再現し、
グラフの意味を理解すると共にSageの使い方をマスターするこ...
今回は、
[[データ解析のための統計モデリング入門>http://www.amazon....
（以下、久保本と書きます）
の第２章の例題をSageを使って再現してみます。久保氏のブロ...
「データ解析のための統計モデリング入門」は自然科学を学ぶ...
数式処理システムSageのノートブックは、計算結果を表示する...
この機会にSageを分析に活用してみてはいかがでしょう。
** 前準備 [#c93b62ac]
最初に必要なライブラリーやパッケージをロードしておきます...
sageへの入力:
#pre{{
# Rの必要なライブラリ
#r("install.packages('ggplot2')")
r('library(ggplot2)')
r('library(jsonlite)')
# python用のパッケージ
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ggplot import *
# RUtilにRとPandasのデータフレームを相互に変換する関数を...
load(DATA + 'RUtil.py')
}}
** 例題のデータ [#e9cad38b]
2章の例題に使われているデータは、架空の植物の第i番目の個...
本の図２．１を以下に引用します。
&ref(Fig2.1.png);
2章のデータは、ネット公開されており、
[[本のサポートサイト>http://hosho.ees.hokudai.ac.jp/~kubo...
からダウンロードできます。
ここでは、DATAディレクトリにdata.RDataをアップし、このノ...
データをロードしたら、summary関数とvar関数を使ってデータ...
ここで、確認することは、以下の3項目です。
- データの個数と欠損値の有無
- データの平均
- データの分散
sageへの入力:
#pre{{
# 2章のデータdata.RDataをダウンロードし、Rにロードする
r('load("%s")' % (DATA + 'data.RData'))
# summaryで平均と分散が大体同じであることがポアソン分布の...
print r('summary(data)')
print r('var(data)')
}}
#pre{{
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 2.00 3.00 3.56 4.75 7.00
[1] 2.986122
}}
*** データの可視化 [#y496e6c7]
データの分布を見るには、Rのtable関数を使って度数分布を計...
sageへの入力:
#pre{{
# 度数分布を計算
r('table(data)')
}}
#pre{{
data
0 1 2 3 4 5 6 7
1 3 11 12 10 5 4 4
}}
sageへの入力:
#pre{{
# Rのhistを使ってヒストグラムをプロットする
graph = preGraph("fig2.2-R.png")
r('p <- hist(data, breaks = seq(-0.5, 9.5, 1))')
r('plot(p)')
postGraph(graph)
}}
&ref(fig2.2-R.png);
** Pandasを使って同様の処理に挑戦 [#ab6eb20c]
Rのライブラリはとても豊富で実績もありますが、個人的には関...
そこで、SageにPandasライブラリをインストールして、これを...
Rから配列データを取り出すには、sageobj関数を使います。
sageへの入力:
#pre{{
# 同様の処理をPandasを使ってやってみます
# rからSageにデータを変換
data = sageobj(r('data')); data
}}
#pre{{
[2, 2, 4, 6, 4, 5, 2, 3, 1, 2, 0, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 7,...
}}
*** データフレームに変換 [#xbd16369]
Rから取り込んだ2章のデータをPandasのデータフレームにしま...
sageへの入力:
#pre{{
# ggplotでプロットできるようにDataFrameにする
orgData = pd.DataFrame(data, columns = ['data'])
}}
データフレームにしたorgDataからRのsummaryと同様の情報をde...
sageへの入力:
#pre{{
# RのsummaryのようにPandasのDataFrameの情報を出力するには...
orgData.describe()
}}
#pre{{
data
count 50.00000
mean 3.56000
std 1.72804
min 0.00000
25% 2.00000
50% 3.00000
75% 4.75000
max 7.00000
[8 rows x 1 columns]
}}
*** ggplotを使ってヒストグラムを表示 [#zd59b702]
Sageにはヒストグラムをプロットする関数がないので、ggplot...
ヒストグラムをプロットします。ほとんどRのggplot2と同じよ...
ことができます。
sageへの入力:
#pre{{
# Sageにはヒストグラムをプロットする関数がないので、ggplo...
# 50個の度数になるようにprob*50としてプロットしている
ggplot(orgData, aes(x='data')) + geom_histogram(binwidth=1)
}}
#pre{{
<ggplot: (15907857)>
}}
残念ながら、ggplotのヒストグラムにはバグがあるようで、最...
sageへの入力:
#pre{{
# ヒストグラムの最後のプロットがRと異なる
ggsave('fig_2.2-g.png', dpi=50)
}}
#pre{{
Saving 11.0 x 8.0 in image.
}}
&ref(fig_2.2-g.png);
** ポアソン分布の表示 [#z55d7f88]
データのsummaryで平均値と分散が同じ値を示すことからデータ...
ポアソン分布では、データの平均がポアソン分布のλの値になる...
を表示してみます。
yに０から9の値をセットし、r.dpoisでSageからRのdpoisを使っ...
probにセットします。
sageへの入力:
#pre{{
# ポアソン分布を表示
y = range(10); y
}}
#pre{{
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
}}
sageへの入力:
#pre{{
# dpoisの戻り値が複素数になっているので、floatで浮動小数...
prob = [float(r.dpois(v, 3.56).n()) for v in y]; prob
}}
#pre{{
[0.0284388247141845, 0.101242215982497, 0.180211144448844...
0.135512821643688, 0.0804042741752548, 0.040891316580558...
}}
*** ポアソン分布をプロットする [#s2f9884a]
Sageのlist_plotを使ってλ=3.56に対するポアソン分布をプロッ...
sageへの入力:
#pre{{
# Sage版 Fig. 2.4
list_plot(zip(y, prob), figsize=5)
}}
&ref(sage1.png);
*** 同様の図をggplotで表示してみる [#s77ae509]
今後、ggplotを頻繁に活用して図化したいと考えているので、...
のgeom_pointで表示してみます。
ggplotを使うことでとても簡単に高品質のグラフが出来上がり...
sageへの入力:
#pre{{
# yとprobからデータフレームを作る
# 同様のプロットをggplotで表示してみる
df = pd.DataFrame(zip(y, prob), columns = ['y', 'prob'])
# ggplotでプロットしてみる
ggplot(df, aes(x='y', y='prob')) + geom_point()
}}
#pre{{
<ggplot: (15979209)>
}}
sageへの入力:
#pre{{
ggsave('fig_2.4.png', dpi=50)
}}
#pre{{
Saving 11.0 x 8.0 in image.
}}
&ref(fig_2.4.png);
*** 観測データとの重ね合わせ [#rc2c3349]
ggplotの大きな特徴の一つにデータの重ね合わせがあります。
ggplotのgeom_histogramとgeom_pointを足し合わせるだけで、...
sageへの入力:
#pre{{
# 観測データと平均3.56のポアソン分布を重ね合わせてみる
# 50個の度数になるようにprob*50としてプロットしている
ggplot(orgData, aes(x='data')) + \
geom_histogram(binwidth=1, alpha=0.6, color='grey') + \
geom_point(df, aes(x='y', y='prob*50'), size=100, col...
}}
#pre{{
<ggplot: (16444061)>
}}
sageへの入力:
#pre{{
ggsave('fig_2.5.png', dpi=50)
}}
#pre{{
Saving 11.0 x 8.0 in image.
}}
&ref(fig_2.5.png);
** ポアソン分布の特徴 [#n22f16f6]
ポアソン分布がλを変えることでどのように分布が変わるのか、...
SageのGraphisもグラフの重ね合わせたggplot同様にともて簡単...
ですから、ggplotとSageの相性もとても良いのです。
sageへの入力:
#pre{{
# ポアソン関数p(y, λ)を定義
def p(y, lam):
return lam^y*e^(-lam)/factorial(y)
}}
sageへの入力:
#pre{{
# 様々な平均（λ）のポアソン分布
# Fig. 2.6
g = Graphics()
for lam, cls in [(3.5, 'red'), (7.7, 'blue'), (15.1, 'gre...
g = g + list_plot([p(y, lam) for y in range(20)], col...
g.show(figsize=5)
}}
&ref(sage2.png);
** ポアソン分布の最尤推定 [#oabe9ecc]
尤度を「あてはまりの良さ」であり、L(λ)と書きます。ポアソ...
$$
L(\lambda) = \prod_{i} p(y_i | \lambda) = \prod_{i} \frac...
$$
L(λ) の対数とったものを対数尤度と呼び、上記の定義から以下...
$$
log L(\lambda) = \sum_{i} \left( y_i log \lambda - \lamb...
$$
このL(λ)が最大になるλは、L(λ)をλで偏微分することで求まり...
$$
\frac{\partial log L(\lambda)}{\partial \lambda} = \sum_i...
$$
この結果は、データの標本平均$\hat{\lambda}$となり、例題の...
$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{50} \sum_i y_i = データの標本平...
$$
この式を例題のデータに対して、λ = 3.6としてその値の和をと...
sageへの入力:
#pre{{
# lambda=3.6の対数尤度を計算してみる。本の図2.7のlog Lと...
orgData.data.apply(lambda y : r.dpois(y, 3.6, log=True))....
}}
#pre{{
[1] -97.25516
}}
*** 例題データの対数尤度を計算する関数logLを定義 [#h6ff8e...
そこで、例題データに対する対数尤度を計算するlogLを以下の...
対数尤度が最大になるようなλを求めてみます。
sageへの入力:
#pre{{
# 対数尤度の計算
def logL(m):
return orgData.data.apply(lambda y : r.dpois(y, m, lo...
}}
確認のため、 今度は$\lambda=2.0の対数尤度は、logL = -121....
sageへの入力:
#pre{{
# 関数の確認、今度はlambda=2の値でチェック
print logL(2)
}}
#pre{{
-121.881181786917
}}
*** 例題の最尤推定値 [#he30177e]
λの最尤推定値をグラフから求めてみます。λ=2.0から5.0を0.1...
sageへの入力:
#pre{{
# グラフから最大となる対数尤度を求める（少し時間が掛かる）
lams = np.arange(2.0, 5.0, 0.1)
Ls = [logL(x) for x in lams]
}}
結果は、以下の様になり、標本の平均値3.56近辺で最大になっ...
sageへの入力:
#pre{{
# plotだと時間がかかるので、list_plotで代用
# Fig. 2.8
list_plot(zip(lams, Ls), figsize=5, plotjoined =True)
}}
&ref(sage3.png);
** 疑似乱数と最尤推定値のばらつき [#uae72a6b]
久保本のすごいところは、疑似乱数を使って最尤推定値のばら...
平均3.5のポアソン分布の50個のサンプルを1000セット作って、...
してみます。
sageへの入力:
#pre{{
# 平均3.5のポアソン分布のサンプルを50個を1000セット生成し...
poisSet3000 = [ r.rpois(50, 3.5).mean().n() for i in rang...
}}
*** 最尤推定値のばらつき [#fab7402c]
今度は、Pandasの持つ、ヒストグラムプロット機能を使って最...
sageへの入力:
#pre{{
# Pandasのグラフ機能を使ってヒストグラムを表示する（ggplo...
df3000 = pd.DataFrame({ 'lambda': np.array(poisSet3000)})...
}}
#pre{{
lambda
0 (3.7+0j)
1 (3.36+0j)
2 (3.58+0j)
3 (3.78+0j)
4 (3.56+0j)
[5 rows x 1 columns]
}}
sageへの入力:
#pre{{
df3000.hist()
plt.savefig("df3000.png", dpi=70)
}}
&ref(df3000.png);
** コメント [#p46ea21d]
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- 「データ解析のための統計モデリング入門」の著者の久保拓...
- 偏微分が０であることが式に追加した -- [[竹本 浩]] &new...
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